Back

ⓘ கணிதம்



                                               

கீதா சானே

சானே அமராவதியில் பிறந்தார். இவரது தந்தை ஒரு ஆசிரியராக இருந்தார், பின்னர் அவர் ஒரு வழக்கறிஞராக பயிற்சி பெற்றார். சானேவின் பெற்றோர் இருவரும் முற்போக்குச் சிந்தனை கொண்டவர்கள் ஆவர். அவர்கள் தங்கள் மகள்களின் திருமணங்களை எந்மத சடங்குகளும் இல்லாமல் நடத்தினர். நாக்பூர் பல்கலைக்கழகத்தில் படிக்கும் மாணவர்களில், சானே அறிவியலில் இளங்கலைப் பட்டம் பெற்ற முதல் பெண் ஆவார். இவருக்கு முன்பு, அந்த பல்கலைக்கழகத்தில் பெண்கள், அந்தக் காலங்களில் இந்தியாவின் பிற பல்கலைக்கழகங்களைப் போலவே, கலைப் பிரிவுகளையே பெரும்பாலும் பயின்றனர். பட்டம் பெற்ற பிறகு, இவர் கணிதம் கற்பித்தார்.

                                               

மூலக் குறியீடு (கணிதம்)

கணிதத்தில் மூலக் குறி, மூலக் குறியீடு, அடிமூலம் அல்லது முருடு என்பது ஒரு எண்ணின் வர்க்கமூலம் அல்லது உயர்வரிசை படிமூலங்களைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் கணிதக் குறியீடு ஆகும். x {\displaystyle x} இன் வர்க்கமூலம் = x, {\displaystyle {\sqrt {x}},} x {\displaystyle x} இன் Nஆம் படி மூலம் = x n. {\displaystyle {\sqrt{x}}.} மொழியியலில் இக்குறியீடு வேர்ச் சொல்லுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

                                               

எல்லை (கணிதம்)

கணிதத்தில் எல்லை என்பது ஒரு சார்பு அல்லது தொடர்வரிசையில், சார்பின் உள்ளீடு அல்லது தொடர்வரிசையின் சுட்டெண்ணானது ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை அணுகும்போது அச்சார்பு அல்லது தொடர்வரிசை அணுகும் மதிப்பைக் குறிக்கிறது. நுண்கணிதம் மற்றும் பகுவியலில் எல்லைகள் முக்கியமானவை. மேலும் தொடர்ச்சியான சார்பு, வகையிடல் மற்றும் தொகையீடு ஆகியவற்றை வரையறுப்பதற்கும் எல்லைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பொதுவாக சார்பின் எல்லை கீழுள்ளவாறு குறிக்கப்படுகிறது: lim x → c f x = L, {\displaystyle \lim _{x\to c}fx=L,} இது, x மாறியின் மதிப்பானது c ஐ நெருங்கும்போது சார்பு f சார்பின் மதிப்பு = L என வாசிக்கப்படுகிறது. உண்மையில் x மாறிய ...

                                               

விகிதமுறுப்படுத்தல் (கணிதம்)

அடிப்படை இயற்கணிதத்தில், ஒரு பின்னத்தின் பகுதியிலுள்ள விகிதமுறா எண்ணை அதாவது பின்னப்படி மூலங்களை நீக்குதல் விகிதமுறுப்படுத்தல் ஆகும். ஒரு பின்னத்தின் பகுதியில் படிமூலங்கொண்ட ஒரேயொரு உறுப்பு மட்டும் இருந்தால் எடுத்துக்காட்டாக பின்னத்தின் பகுதி: a x n k, {\displaystyle a{\sqrt{x}}^{n-r}} ஆல் பெருக்கி விகிர்ஹமுறுப்படுத்தலாம். மாறாக பின்னத்தின் பகுதி a + b x, {\displaystyle a+b{\sqrt {x}},} வடிவிலிருந்தால் தொகுதி மற்றும் பகுதியை a − b x, {\displaystyle a-b{\sqrt {x}},} ஆல் பெருக்கி பகுதியிலுள்ள பெருக்கலை பங்கீட்டுப் பண்பின்படி விரித்துச் சுருக்கி விகிதமுறுப்படுத்தலாம்.

                                               

ஏ. எல். நாராயணன்

அப்பதவேதுலா இலட்சுமி நாராயணன் ஏ. எல். நாராயணன் என்று பிரபலமாக அறியப்படும் இவர் ஓர் இந்திய வானியற்பியலாளர் ஆவார். இவர், 1937க்கும் 1946க்குமிடையில் கொடைக்கானல் சூரிய வான் ஆய்வகத்தின் முதல் இந்திய இயக்குநராக இருந்தார். இவர் 1887ஆம் ஆண்டில் அப்பதவேதுலா வியாசுலு மற்றும் மகாலட்சுமி ஆகியோருக்கு ஆந்திராவின் கிழக்கு கோதாவரி மாவட்டத்தின் முக்கமாலா கிராமத்தில் பிறந்தார். கொத்தபேட்டையிலுள்ள மேல்நிலைப் பள்ளியில் மெட்ரிகுலேசன் வரை படித்தார். விஞ்ஞான ஆய்வில் மிகுந்த ஆர்வத்தை வளர்த்துக் கொண்ட இவர், ராஜமன்றி அரசு கலைக் கல்லூரியில் தனது படிப்பைத் தொடர்ந்தார். இங்கு இளங்கலை பட்டம் பெற்ற இவர் 1914இல் சென்னைப ...

                                               

முழுவெண் மதிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவை

கணிதத்தில் முழுவெண் மதிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவை P {\displaystyle P} என்பது, n இன் ஒவ்வொரு முழு எண் மதிப்பிற்கும் P {\displaystyle P} இன் மதிப்பும் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்குமாறுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையாகும் முழுவெண் கெழுக்களையுடைய ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் முழுவெண் மதிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும். ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையில்லை. அதாவது முழுவெண் மதிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அனைத்தும் முழுவெண் கெழுக்களைக் கொண்டிருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக: 1 2 t 2 + 1 2 t = 1 2 t + 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{2}}t={\frac {1}{2}}tt+1} t முழுவெண்ணாக இருக்கும்போதெல்லாம் t, t + 1 {\disp ...

                                               

பிழிவுத் தேற்றம்

நுண்கணிதத்தில் பிழிவுத் தேற்றம் என்பது சார்பின் எல்லை குறித்த தேற்றமாகும். இத்தேற்றம் நுண்கணிதத்திலும் பகுவியலிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இத்தேற்றத்தில், எல்லைமதிப்புகள் அறியப்பட்ட அல்லது எளிதில் கணக்கிடக்கூடிய இரு சார்புகளுடன் ஒப்பிட்டுத் தேவையான சார்பின் எல்லை கண்டுபிடிக்கப்படுகிறது. π இன் மதிப்பைக் கணக்கிடும்போது இத்தேற்றமானது வடிவவியலாகக் கணிதவியலாளர்கள் ஆர்க்கிமிடீசு மற்றும் யூடாக்சசால் பயன்படுத்தப்பட்டது. இதன் தற்கால வடிவமானது கணிதவியலாளர் காசால் வடிவமைக்கப்பட்டது.

கணிதம்
                                     

ⓘ கணிதம்

கணிதம் என்பது வணிகத்தில், எண்களுக்கு இடையான தொடர்பை அறிவதில், நிலத்தை அளப்பதில், அண்டவியல் நிகழ்வுகளை வருவதுரைப்பதில் மனிதனுக்கு இருந்த கணித்தலின் தேவைகள் காரணமாக எழுந்த ஓர் அறிவியல் பிரிவாகும். இந்த நான்கு தேவைகளும் பின்வரும் நான்கு பெரிய கணிதப் பிரிவுகளைப் பிரதிபடுத்துகின்றன:

  • பரவெளி space – வடிவவியல்
  • அளவு quantity – எண்கணிதம்
  • மாற்றம் change – பகுவியல் analysis – நுண்கணிதம்
  • அமைப்பு structure – இயற்கணிதம்

பல்வேறு கணிதவியலாளர்களுக்கும் இடையே கணிதத்தின் சரியான வீச்சையும் வரையறையையும் குறித்து பல்வேறு கருத்துக்கள் உள்ளன.

கணிதவியலாளர் தோரணங்களைத் தேடுகின்றனர்; கண்டுபிடித்த தோரணங்களைப் பயன்படுத்தி புதிய கணிப்புகளை உருவாக்குகின்றனர். தங்கள் கணிப்புகளின் மெய்,பொய் நிலைகளை கணித நிறுவல் மூலம் தீர்க்கின்றனர். உண்மை நிகழ்வுகளின் நல்ல முன்மாதிரிகளாக கணித அமைப்புக்கள் இருக்கும்போது கணித ஏரணங்கள் இயற்கை குறித்த புரிதலையும் முன்னறிவிதல்களையும் சாத்தியமாக்குகின்றது. எண்ணுதல், கணக்கிடுதல், அளவியல் இவற்றிலிருந்து நுண்கருத்துக்களையும் ஏரணத்தையும் பயன்படுத்தி கணிதம் முன்னேறியுள்ளது; பொருட்களின் வடிவங்களையும் இயக்கங்களையும் ஒழுங்குமுறையுடன் ஆராய்கின்றது. ஆவணங்கள் பதியப்பட்டபோதே செயல்முறைக் கணிதம் மாந்தச் செயற்பாடாக விளங்கியது. சில கணிதத் தீர்வுகளுக்கு பல ஆண்டுகள் அல்லது நூற்றாண்டுகள் தொடர்ந்த தேடுதல் நடந்துள்ளது.

கிரேக்க கணிதத்தில் கடுமையான கருத்தாய்வுகள் முதலில் தோன்றின; குறிப்பாக யூக்ளிடின் கூறுகளைக் கூறலாம். சூசெப்பெ பியானோ 1858–1932, டேவிடு இல்பேர்ட்டு 1862–1943 போன்றோரின் ஆக்கங்கள் மற்றும் பிற 19வது நூற்றாண்டு கணிதவியல் அமைப்புகளை அடுத்து ஏற்றுக்கொண்ட வரைவிலக்கணத்தின்படி கடுமையான கணித பகுத்தறிதல் மூலம் மெய்கோள்களின் உண்மையை நிறுவவதே கணித ஆராய்ச்சி என்ற கருத்து உருவானது. மறுமலர்ச்சிக் காலம் வரை மெல்லவே முன்னேறிய கணிதவியல் அறிவியல் கண்டுபிடிப்புகளின் இடைவினையால் கணித புத்தாக்கங்கள் மிக விரைவாக மேம்படத்தொடங்கின; இந்த விரைவான வளர்ச்சி இன்றுவரை தொடர்கின்றது.

கணிதம் இயற்கை அறிவியல், பொறியியல், மருத்துவம், நிதியியல், சமூக அறிவியல் போன்று உலகின் பல துறைகளில் முக்கியமானக் கருவியாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றது. கணிதத்தை மற்றத் துறைகளில் பயன்படுத்துவதைக் குறித்த பயன்பாட்டுக் கணிதம் புதிய அறிவியல் கண்டுபிடிப்புக்களைத் தூண்டவும் அவற்றைப் பயன்படுத்தவும் பயனாகின்றது. புள்ளியியல், ஆட்டக் கோட்பாடு போன்ற கணிதத்துறைகள் இவ்வாறு உருவானவையே. கணிதவியலாளர்கள் கணிதத்தைக் கொண்டு கணிதத்தை தனிக் கணிதவியல் அறியவும் முயல்கின்றனர். இந்தத் தனிக் கணிதத்தையும் பயன்பாட்டுக் கணிதத்தையும் பிரிக்கும் தெளிவான வரையறைகள் ஏதுமில்லை. தனிக்கணிதமாக துவங்கியவை பயன்பாட்டுக் கணிதமாக மாறுகின்றன.

                                     

1. வரையறை

கணிதம் Math அல்லது Maths இலக்கங்களும், அதன் செய்முறைகளும், அத்துடன் உருவ அமைப்புக்களும் shapes மட்டுமல்லாது விஞ்ஞான ஆராய்ச்சிகளுடனும், அதன் பிரயோகங்களுடனும் தொடர்ச்சியாக வளர்ந்து வரும் ஒரு அறிவியல் சாதனமாகும். கணிதத்தின் தேவை எமது அறிவியல் வளர்ச்சிக்கு ஒரு முக்கிய காரணியாகும். கலிலியோ "கணிதத்தின் உதவியால் நாம் இவ்வுலகத்தையே அறியலாம்" என்று கூறினார்.

எண்களை வைத்துக்கொண்டு உண்டாக்கப்பட்ட கணிப்பியலோ arithmetic வடிவங்களை வைத்துக்கொண்டு உண்டாக்கப்பட்ட வடிவியலோ இவைதான் கணிதவியல் என்று நினைப்போர் பலர். இன்னும் சிலர் எண்களுக்குப் பதிலாகக் குறிப்பீடுகளை வழங்கி அவைகளையும் எண்கள்போல் கணிப்புகள் செய்யும் இயற்கணிதம் தான் கணிதத்தின் முக்கிய பாகம் என்பர். மற்றும் சிலர் வடிவங்களை அலசி ஆராயும் வடிவியல் வளர்ச்சி தான் கணிதத்தின் இயல்பு என்று கூறுவர். ஆனால் கணிதம் இதையெல்லாம் தாண்டிய ஒன்று.

                                     

2.1. வரலாறு தோற்றம்

தொடர்ந்து வளர்ந்த நுண்கருத்துக்களின் தொடராக கணிதம் உருவானது. பல விலங்குகளும் பகிரும் முதல் நுண்கருத்து எண்களாக இருக்கக் கூடும்: இரண்டு எண்ணிக்கை ஆப்பிள்களின் தொகுப்பும் இரண்டு எண்ணிக்கை மாம்பழங்களின் தொகுப்பும் ஏதோவொரு வகையில் பொதுவாக உள்ளன, அது அவற்றின் எண்ணிக்கை என்ற உணர்வாகும்.

எலும்புகளில் காணப்பட்ட கணக்கீடு குறிகளைக் கொண்டு, தொல் பழங்கால மக்கள் கட்புலனாகும் பொருட்களை எண்ணுவதை அறிந்திருந்ததுடன் நாட்கள், பருவ காலங்கள், ஆண்டுகள் போன்ற கட்புலனாகா அமைப்புக்களையும் எண்ணக் கற்றிருந்தனர் என அனுமானிக்கலாம்.

மிகச் சிக்கலான கணிதவியல் கி.மு.3000 வரை தோன்றவில்லை; அப்போதிலிருந்துதான் பபிலோனியர்கள், எகிப்தியர்கள் வரி மற்றும் பிற நிதிக் கணக்கீடுகள், கட்டிட மற்றும் கட்டுமானம், வானியல் போன்ற துறைகளில் எண்கணிதம், இயற்கணிதம், வடிவவியல் போன்றவற்றைப் பயன்படுத்தத் துவங்கினர். வணிகம், நில அளவியல், ஓவியக் கலை, நெசவுத் தோரணங்கள் மற்றும் நேரப் பதிகை ஆகியன கணிதத்தின் ஆரம்ப கால பயன்பாடுகளாக இருந்தன.

                                     

2.2. வரலாறு இந்தியக்கணித வரலாறு

எண்ணும் எழுத்தும் இரண்டு கண்கள் போல என வள்ளுவர் கூறுகிறார். திருக்குறளில் ஒன்று, இரண்டு, மூன்று, நான்கு, ஐந்து, "அறு", "எழு", "எண்", பத்து, "கோடி" ஆகிய எண்கள் அல்லது தொகையீடுகள் அங்காங்கே பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. எனினும் "தொண்டு" அல்லது "தொன்பது" பயன்படுத்தப்படவில்லை.

எண்களை எழுதுவதில் இடமதிப்புத் திட்டத்தையும் பூச்சியம் என்ற கருத்தையும் உருவாக்கி வருங்காலக் கணிதக்குறியீட்டுமுறைக்கு அடிகோலிட்டது பழையகால இந்தியா. இதைத்தவிர இந்தியக் கணிதவியலர்கள் மேற்கத்தியநாடுகள் மறுமலர்ச்சியடைந்து அறிவியலில் வளர்வதற்கு முன்னமேயே பலதுறைகளில் முன்னேற்றம் கண்டிருந்தனர்.

  • சுல்வசூத்திரங்களின் வடிவியல்
  • வானவியல்
  • எண்களின் அடிப்படைகளைப்பற்றி ஜைனர்கள்
  • பாக்சாலி கையெழுத்துப்பிரதிகளின் சமன்பாடுகள்
  • சூனியமும் இடமதிப்புத் திட்டமும்
  • வேதகாலத்துக்கணிதத்தின் கணிப்பு முறைகள்

இவையெல்லாம் இந்தியக்கணிதத்தின் சிறப்புகள்.

                                     

2.3. வரலாறு தற்காலத்திய கணிதத்தின் வரலாறு

14 வது நூற்றாண்டில் தொடங்கி, சென்ற ஆறு நூற்றாண்டுகளில் கணிதத்தின் வளர்ச்சியைத் தெரிந்துகொள்ள கணிதவியலாளர்கள் பலரின் வரலாறுகளே தக்க சான்றுகள். ஃபெர்மா, நியூட்டன், ஆய்லர், காஸ், கால்வா, ரீமான், கோஷி, ஏபல், வியர்ஸ்ட்ராஸ், கெய்லி, கேன்ட்டர், ஹில்பர்ட், இப்படி இன்னும் நூற்றுக்கணக்கானவர்கள் பங்கு கொண்டு உருவாக்கப்பட்ட கணிதம் இன்றைய கணிதம்.

                                     

3. குறியீடு, மொழி, மற்றும் கடும்நெறி

இன்று கணிதவியலில் பயன்படுத்தப்படும் பல குறியீடுகள் 16வது நூற்றாண்டு வரை கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை. அதற்கு முன்னால் கணிதத்தை சொற்களால்தான் விவரித்தனர்; இது மிகவும் கடினமாகவும் புத்தாக்கங்களுக்குத் தடையாகவும் இருந்தது. இன்று பயன்படுத்தப்படும் பல குறியீடுகள் ஆய்லரால் 1707–1783 உருவாக்கப்பட்டவை. தற்காலக் குறியீடுகள் கணிதவியலாளர்களுக்கு கணிதத்தை எளிமையாக்கினாலும் புதியவர்களுக்கு கடினமாக உள்ளது. இவை மிகவும் சுருக்கப்பட்டவை; சிலக் குறியீடுகள் அல்லது சின்னங்கள் நிரம்ப தகவலை உள்ளடக்கி உள்ளன. இசைக் குறியீடுகளைப் போலவே தற்கால கணிதக் குறியீடுகளுக்கும் கடுமையான இலக்கணங்கள் உள்ளன ஆசிரியருக்கு ஆசிரியர் அல்லது துறைக்குத் துறை இவை சிறிதே வேறுபட்டிருக்கலாம். இவற்றிலுள்ளத் தகவலை எழுத்தில் வடிப்பது என்பது மிகவும் கடினமாக இருக்கும்.

புதியவர்களுக்கு கணித மொழி மிகவும் கடினமானதாகத் தெரியலாம். அல்லது மற்றும் மட்டுமே போன்ற சொற்கள் வழக்குமொழியை விட மிகத் துல்லியமான பொருளைக் கொண்டவை. தவிரவும், சிலச் சொற்கள் சிறப்பானத் தனிப் பொருள் உடையன. கலைச்சொற்களான இடவியல் உருமாற்றம், தொகையீடு போன்றவற்றிற்கு கணிதத்தில் துல்லியமானப் பொருள் உண்டு. மேலும், சில சொல்லாடல்கள் iff for "if and only if" கணிதத்திற்கு மட்டுமேயானவை. சிறப்பு குறியீடுகளுக்கும் கலைச்சொற்களுக்கும் காரணம் உள்ளது: கணிதத்திற்கு வழக்குசொல்லாடலை விடத் துல்லியம் தேவைப்படுகின்றது. கணிதவியலாளர்கள் இந்தத் துல்லியமான மொழியையும் ஏரணத்தையும் கடும்நெறி rigor என்கின்றனர்.



                                     

4. கணிதவியல் புலங்கள்

கணிதத்தின் தற்காலப் புலங்களைப் பற்றிப் பட்டியலிடவேண்டுமானால் அப்பட்டியலில் 100 புலங்களுக்கும் மேலாக இருக்கும். இப்புலங்களுக்குள் மிகவும் வியப்பு தரும் உறவுகளும் உண்டு. இவைகளிலெல்லாம் கணிதத்திற்கென்றே தனித்துவம் வாய்ந்த மரபும் குறிப்பிடத்தக்கது. இம்மரபுதான் கணிதத்தை மற்ற அறிவியல் துறைகளிலிருந்து பிரித்துக் காட்டுகிறது.இவைதவிர, கணிதத்தின் அடிப்படைகளுக்கும் மற்ற துறைகளுக்குமான தொடர்பை ஏரணவியல் ஆய்கின்றது. மேலும் புள்ளியியல் போன்ற நேரடியாகப் பயன்படும் கணிதப் புலங்களும் உண்டு.

                                     

5. கணிதக்கட்டுரை விமரிசனங்கள்

கணித விமரிசனங்கள் Mathematical Reviews என்ற ஒரு பத்திரிகை 1940 இல் ஒரு சில பக்கங்களுடன் தொடங்கி ஒவ்வொருமாதமும் கணிதத்தில் எழுதப்படும் புது ஆய்வுக்கட்டுரைகளை விமரிசிக்கவென்றே ஏற்படுத்தப்பட்டது. அது இன்று மாதத்திற்கு 2000 பக்கங்கள் கொண்டதாக வளர்ந்து, ஆயிரக்கணக்கான ஆய்வுப்பத்திரிகைகளிலிருந்து ஏறக்குறைய இருபது லட்சம் கட்டுரைகளின் விமரிசனத்தைக் கணிதப் பொக்கிஷமாகக் காத்து வருகிறது.

                                     

6. வெளி இணைப்புக்கள்

  • The Institute of Mathematical Sciences, Chennai
  • Chennai Mathematical Institute
  • மணிக்கணிதம் Abacus
  • தமிழ் இணைய பல்கலைகழகத்தின் கணித கலைச்சொல் அகராதி
  • இந்தியா – கேரளா – ஆண்டு 10 பாட புத்தகத்தின் இணையப் பிரதி – அருமையான நடை, விளக்கம்
Free and no ads
no need to download or install

Pino - logical board game which is based on tactics and strategy. In general this is a remix of chess, checkers and corners. The game develops imagination, concentration, teaches how to solve tasks, plan their own actions and of course to think logically. It does not matter how much pieces you have, the main thing is how they are placement!

online intellectual game →